OSCILACIONES FORZADAS
La amplitud de una oscilación amortiguada decrece con el tiempo. Al cabo de un cierto tiempo teóricamente infinito, el oscilador se detiene en el origen. Para mantener la oscilación es necesario aplicar una fuerza oscilante.
El oscilador forzado, o su equivalente el circuito LRC conectado a una fuente de corriente alterna es un ejemplo que nos permite estudiar con detalle las soluciones de una ecuación diferencial de segundo orden. Nos permite diferenciar entre estado transitorio y estacionario. Comprender el importante fenómeno de la resonancia.
​
​
​
​
​
​
​
​
​
Las fuerzas que actúan sobre la partícula son:
-
La fuerza que ejerce el muelle, -k·x
-
La fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad λv y de sentido contrario a ésta
-
La fuerza oscilante F0·cos(ωf t) de frecuencia angular ωf
La ecuación del movimiento en forma de ecuación diferencial que describe las oscilaciones forzadas
ma=-kx-λv+F0·cos(ωf t)
Expresamos la ecuación del movimiento en forma de ecuación diferencial que describe las oscilaciones forzadas
​
​
​
​
-
donde ω0 es la frecuencia natural o propia del oscilador
-
ωf es la frecuencia angular de la fuerza oscilante de amplitud F
-
γ es la constante de amortiguamiento, γ<ω0
La solución general de la ecuación diferencial homogénea tiene la forma
​
​
​
Donde los coeficientes C y D se determinan a partir de las condiciones iniciales
Supondremos inicialmente que ω0≠ωf
Una solución particular de la ecuación diferencial completa tiene la forma
x2=Acos(ωf t)+Bsin(ωf t)
Obtendremos los valores de A y B haciendo que cumpla la ecuación diferencial lineal completa
​
​
​
​
La solución general de la ecuación diferencial completa es la suma de la solución general de la homogénea más la solución particular x=x1+x2.
x=(Ccos(ωt)+Dsin(ωt))exp(−γt)+Acos(ωft)+Bsin(ωft)
El primer término, describe el estado transitorio. El segundo término, describe el estado estacionario.
El estado transitorio desaparece al cabo de cierto tiempo (teóricamente infinito) y depende de las condiciones iniciales
La velocidad vale
​
​
​
​
El estado estacionario, independiente de las condiciones iniciales y es el que permanece
​
No hay rozamiento γ=0
Cuando ω0≠ωf
La solución de la ecuación diferencial para las condiciones iniciales:
en el instante t=0, la posición es x0 y la velocidad v0, se escriben.
​
​
​
​
​
​
​
​
​
​
Cuando ω0=ωf
Cuando la frecuencia de la fuerza oscilante ωf se hace igual a la frecuencia propia del oscilador ω0, en el tercer término de la ecuación que nos da la posición x tenemos una ideterminación del tipo 0/0.
​
​
​
​
​
​
Rozamiento γ<ω0
Si las condiciones iniciales son t=0, x=x0, v=v0.
C=x0−A
D=1ω(v0+γC−ωfB)
Las condiciones iniciales más sencillas son x=0, y dx/dt=0 en el instante t=0. La partícula de masa m parte del origen con velocidad inicial nulo.
​
​
​
​
​
​
​
​
​
Resolvemos la ecuación diferencial, llamando
-
Coeficiente de rozamiento, γ (g),
-
Frecuencia angular propia, ω0 (w0),
-
Frecuencia angular de la fuerza oscilante, ωf (wf)
y estableciendo el valor de la amplitud de la fuerza oscilante F/m=1.
Tarea (Laboratorio 8)
#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;
int m, lan;
double frec_nat(int a), R1;
double k=0.0125e-11, f0, w, w0;
double AMORTIG(double f, int b, double c, double d, int e);
double B, C, D, R2, inicial, final, R3;
int m1, m2, c1;
double c_c(int x);
double ond(int y, int z), A, E, F, R4;
int main ()
{
int opcion;
cin>>opcion;
switch (opcion)
{
{
case 1:
cin>>m;
R1=frec_nat(m);
cout<<R1<<endl;
};break;
{
case 2:
cin>>inicial; cin>>final; cin>>m; cin>>w; cin>>w0; cin>>lan;
for (f0=inicial; f0<=final; f0=f0+1.5)
{
R2=AMORTIG(f0, m, w, w0, lan);
cout<<R2<<endl;
}
};break;
{
case 3:
cin>>m1;
R3=c_c(m1);
cout<<R3<<endl;
};break;
{
case 4:
cin>>c1; cin>>m2;
R4=ond(c1, m2);
cout<<R4<<endl;
};break;
}
cout<<"Fuera de rango";
}
//zona de funciones
double frec_nat(int a)
{
R1=sqrt(k/m);
return R1;
}
double AMORTIG(double f, int b, double c, double d, int e)
{
B=f/b;
C=pow(((c*c)-(d*d)),2);
D=4*pow(c,2)*pow(e,2);
R2=B/sqrt(C+D);
return R2;
}
double c_c(int x)
{
R3=2*m1*sqrt(k/m1);
return R3;
}
double ond(int y, int z)
{
A=-c1/(2*m2);
E=pow(c1,2)-4*m*k;
F=4*pow(m2,2);
R4=A+sqrt(E/F);
}